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Interpolationen
CGRAPH kann für eine Liste von Werten interpolierte Graphen erstellen und in klassischen Fällen auch die zugrunde liegenden Funktion ermitteln. Wertepaare können als Werte oder grafisch eingegeben oder auch als CSV-Datei eingelesen und auch gespeichert werden.
Interpolationsarten
Es stehen folgende Interpolationsarten zur Verfügung:
| Name | Funktion | Beschreibung |
|---|---|---|
| linear | y=mx+b | interpoliert aus den eingegebenen Werten eine Gerade |
| quadratisch | y=ax2+bx+c | interpoliert aus den eingegebenen Werten eine quadratische Parabel |
| exponentiell | y=c*eax | interpoliert aus den eingegebenen Werten einen exponentiellen Verlauf |
| Grenzwert | y=c*(1-eax) | interpoliert aus den eingegebenen Werten einen negativen exponentiellen Verlauf, der sich einem Grenzwert nähert |
| Fourierreihe | y=∑ck*sin(akx) | Diese Interpolationsart eignet sich für periodische Vorgänge. Die einzelnen Koeffizienten einer Fourierreihe werden ermittelt |
| Kettenlinie | y=c*cosh(ax) | interpoliert aus den eingegebenen Werten eine Kettenlinie, die dem Cosinus hyperbolicus folgt |
| Akima | y=ak+bk*(x-xk)+ck*(x-xk)2+dk*(x-xk)3 | zeichnet einen Graphen, der alle Punkte durch einzelne kubische Polynome stetig miteinander verbindet |
| Balkendarstellung | keine Interpolation - zeichnet die Werte lediglich als Balken in der Grafik | |
| Liniendarstellung | keine Interpolation - zeichnet die Werte lediglich als verbundene Linien in der Grafik |
Details zur mathematischen Umsetzung der Interpolationen finden Sie bei den Mathematischen Grundlagen
Vorausgewählt ist die Interpolationsart automatisch. Dann versucht CGRAPH, anhand der eingegebenen Werte die beste Interpolationsart zu bestimmen - das ist jene, bei der die Abweichung der berechneten Kurve von den eingegebenen Eingangsewerten am geringsten ist.
Eingabe von Werten per Tastatur
Im linken Bereich könnene einzelne Werte eingegeben und der Liste hinzugefügt werden. Als Trennzeichen dient dabei wahlweise der Doppelpunkt „:“ oder das Semikolon „;“. Wird nur eine Zahl eingegeben, wird diese als x-Wert interpretiert. Der zugehörige y-Wert wird automatisch ergänzt und auf 0 gesetzt.
Einmal eingegebene Werte können geändert werden. Dazu genügt es, in der Liste auf den gewünschten Wert zu klicken. Er wird dann im linken Bereich angezeigt und kann geändert werden. Nach einem Klick auf den Schalter Wert ändern wird der neue Wert auch in der Liste angezeigt. Mit Änderung abbrechen kommt man zurück zur Eingabe neuer Werte, ohne dass eine Änderung durchgeführt wird.
Durch Umschalten des Reiter auf der rechten Seite auf grafische Eingabe können die eingegebenen Werte vorab in einem Grafikfenster angezeigt werden. Durch Rechtsklick in die Liste auf der rechten Seite können die Werte auf einfache Weise ein- und ausgeblendet wedren.
Grafische Eingabe
Durch Umschalten des Reiter auf der rechten Seite auf grafische Eingabe können Werte auch in einem Grafikfenster eingegeben werden. Dazu muss lediglich die Checkbox Grafische Eingabe aktiviert werden. Jeder Klick ins Grafikfenster erzeugt dann einen weiteren Punkt. Zum Zoomen und Blättern in der Grafik muss diese Checkbox deaktiviert werden - nach dem Zoomen oder Blättern können dann weitere Werte eingegeben werden.
Alle grafischen Eingaben werden dann auch in der Liste der Werte angezeigt.
Laden und Speichern
Werte können mittels des Schalters Aus Datei laden auch aus CSV-Dateien gelesen werden. CGRAPH nutzt dazu die ersten beiden durch Semikolon getrennte Spalten der Datei, in denen Zahlenwerte stehen müssen. Sofern nur eine Spalte vorhanden ist, interpretiert CGRAPH diese als y-Wert und fügt einen fortlaufenden x-Wert hinzu.
Eingebene Wertepaare können jederzeit mittels des Schalters Export als CSV-Dateien gespeichert werden.
Umrechnen von Werten
CGRAPH bietet einige vordefinierte Interpolationsarten, die nicht auf jede Wertepaar-Beziehung passen. Schon ein Offset b in der Funktion y=c*eax+b verhindert, dass ein exponetieller Verlauf sauber berechnet wwerden kann. Hier hilft es, den (zumeist erkennbaren) Offset durch eine Funktion f(t) = t-b zu entfernen. Ein anderes Beispiel sind logarithmische Verläufe. Eine Kurve, die der Funktion y=c*log(a*x) folgt, kann mittels (f(t) = exp(t) in eine Gerade umgerechnet werden, bei der dann die lineare Interpolation zum Einsatz kommt. Nach einem Klick auf Werte umrechnen öffnet sich ein zusätzliches Fenster.
Auf der linken Seite des Fensters werden die ursprünglichen Ausgangswerte dargestellt. Am oberen Rand können für x und y zwei Funktionen eingegeben werden; zulässig ist allein die Variable t. Die Funktion für x(t) dient vorrangig dazu, bei aus einer Datei geladenen Werten ohne Ordinatenbezug (also nur y-Werte, für die CGRAPH automatisch fortlaufende x-Werte vergeben hat), eine besser passende Einteilung festzulegen. Die Funktion für y(t) rechnet die y-Werte um. Beide Funktionen zusammen können aber beispielsweise zum Einsatz kommen, um Wertepaare im Polarkoordinatenformat in ein kartesisches Format zu wandeln.
Die umgerechneten Werte werden auf der rechten Seite des Fensters wahlweise grafisch (mit an die Wertepaare angepassten Maßstäben, so dass alle Werte sichtbar sind) oder als Liste dargestellt. Die Umrechnung erfolgt nach Eingabe der Funktionen sofort. Mit Klick auf Werte übernehmen landen die umgerechneten Werte dann in der Liste des Hauptfensters.
Grafische Darstellung
Nach dem Anklicken des Schalters Interpolation ausführen berechnet CGRAPH (wahlweise automatisch) die koeffizienten der (besten) Interpolationsmethode und schaltet auf die grafische Darstellung um.
In der grafischen Darstellung werden dann die eingegebenen Werte und der berechnete Kurvenverlauf in unterschiedlichen Farben dargestellt.
Bearbeiten der ermittelten Interpolation
Oberhalb der Grafik werden die ermittelten Koeffizienten und die berechnete Funktion angezeigt.
Die Anzeige der Koeffizienten ist abhängig von der Interpolationsmethode. Im Beispiel sind es die drei Koeffizienten a, b und c für eine quadratische Parabel. Im rechten Bereich wird die ermittelte Funktion angezeigt. Sie kann editiert werden; das Ergebnis ist dann sofort in der Grafik zu sehen. Auf diese Weise kann die Funktion nachträglich noch besser an die einzelnen Werte angepasst werden.
Mit dem Schalter In Funktionenliste aufnehmen wird die Funktion in die Liste der von CGRAPH verwalteten Funktionsterme aufgenommen und steht dann innerhalb des Grafiktyps Funktionen zur Verfügung.
Der Schalter Zurück zur Originalfunktion setzt wieder die Original-Parameter ein - die Funktion entspricht dann wieder der berechneten Interpolation.
Die berechneten Werte werden zusätzlich auch in der Baumansicht dargestellt. Hier können auch die interpolierten Werte und die berechnete Funktion aus- und wieder eingeblendet werden.
