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====== Komplexer Raum : Abbildungen im komplexem Raum ======
Diese Grafik ist die vielseitigste und umfangreichste Abbildungsmöglichkeiten in GGRAPH. Für jede der Koordinatenachsen x, y und z kann eine eigene komplexe Abbildungsfunktion festgelegt werden, die von drei ebenfalls komplexen Variablen u. v und w abhängt. Für jede der Funktionen kann festgelehgt werden, ob deren Realtei, Imaginärteil oder Betrag als Bezug für die Koordinatenachse genutzt wird. Damit können selbst komplexeste Abbildungen und dreidimensionale Figuren erzeugt werden.

Genaugenommen ist der Raum, in den gezeichnet wird, nicht auf einer komplexen Ebene aufgespannt; es handelt sich um einen gewöhnlichen ℝ<sup>3</sup> mit reellen Zahlenwerten für die x- die y- und die z-Koordinate. Da aber für jede Koordinate eine Funktion mit komplexen Eingangswerten benutzt wird, ist  diese Grafik dem komplexen Raum zugeordnet.

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Zur Betonung der Unabhängigkeit der Variablen von den Koordinatenachsen sind hier nur die Namen u, v, w und param möglich. Die Variablen dürfen auch komplexe Werte annehmen, lediglich der Parameter ist auf reelle Zahlen beschränkt. Geben Sie in den Eingabefeldern für die Funktionen die gewünschten Terme ein, oder wählen Sie einen der bereits vorhandenen Terme durch Klick auf den Pfeil rechts vom Eingabefeld. Alle drei Terme können von u, v und w abhängen.

Die Werte für Start und Ende der Variablen u, v und w können getrennt festgelegt werden. Es gilt dabei lediglich, dass Start und Ende nicht identisch sein dürfen.

CGRAPH variiert die Variablen u und v dann gemäß der in den [[3d-grafik|Einstellungen]] vorgegebenen Stützstellenzahl. Die **//Anzahl der Stützwerte für die Variable w//** kann hier festgelegt werden - hier sind nur maximal 16 Iterationen möglich.

Eine Erklärung für diese Einschränkung liefert die Art und Weise, wie CGRAPH die Abbildungen im Raum erzeugt. Die Abbildung über u und v (mit je n Iterationen, also insgesamt n<sup>2</sup> Berechnungen) wird für jedes w wiederholt - bei w=16 also 16mal, so dass auch insgesamt 16mal so viele Daten anfallen wie bei den [[flaechenimraum|Flächen im Raum]]. Die Geschwindigkeit der benutzten 3D-Engine beschränkt hier die maximal mögliche Anzahl Stützwerte.

Für jede der drei Funktionen kann gewählt werden, ob ihr **//Realteil//**, ihr **//Imaginärteil//** oder ihr **//Betrag//** auf der jeweilgen koordinatenachse aufgetragen werden soll.

Zur Vereinfachung kann die Variable w innerhalb ihrer eigenen Stützwerte auch mit jedem weiteren v und u automatisch erhöht werden. Sie steigt dann kontinuerlich vom Stützwert w<sub>i</sub> bis zum nächsten Stützwert w<sub>i+1</sub>. Siehe dazu die drei Beispiele weiter unten. 

Nach dem Anklicken des Schalters **//Grafik erstellen//** schaltet CGRAPH auf den Reiter **//Darstellung//** um und zeigt die Grafik. 

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Die drei Grafiken zeigen dieselbe Abbildung mit den Funktionen f<sub>x</sub>=w*cos(v)*sin(u) und f<sub>y</sub>=w*sin(v)*sin(u) - beide zusammen bilden einen Flächenkreis - und der Funktion f<sub>z</sub>=w, bei der die z-Koordinate von Stützwert zu Stützwert einfach erhöht wird. Im ersten Bild bleibt w unverändert, wenn u und v erhöht werden - dann entsteht eine Anzahl von gestapelten Kreisebenen (hier 5, weil die Zahl der Stützwerte auf 5 festgelegt wurde). Wenn man wie im mittleren Bild w mit v erhöht, entsteht eine Schraube, Im dritten Bild wird w mit u erhöht, dann entstehen Paraboloide.

Diese automatische Erhöhung stellt lediglich einen Vereinfachung dar. Sie kann auch erreicht werden, indem u und v innerhalb der Funktion f<sub>z</sub> als Variablen benutzt werden.

Im Baum auf der linken Seite können die Vorgabewerte eingesehen werden. Ein Klick auf den (optionalen) Parameter schaltet zudem die Einstellbarkeit des Parameters am unteren Rand ein. Eine Erklärung dieser Funktion finden Sie bei den [[BedienungParameterR|Hinweisen zur Änderung des Parameters in der Grafikdarstellung]]. 

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Ein Doppelklick auf den Text neben dem farbigen Symbol erlaubt die [[Stroke3DExt|Einstellung von Farbe und Erscheinung]] des Graphen. Ein Klick auf das farbige Symbol selbst blendet den Graphen aus bzw. ein.

Die Vorgabewerte können nachträglich geändert werden - durch einen Klick auf einen der Werte schaltet CGRAPH wieder auf den Reiter mit den Vorgabewerten um. Eine Anpassung der Grafik erfolgt, sobald der Schalter **//Grafik erstellen//** angeklickt wird.

[[BedienungGrafik3D|Hinweise zur Bedienung der Grafikdarstellung]]

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