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--- mathematische_grundlagen [2026/02/02 17:51] – frankbrennecke
+++ mathematische_grundlagen [2026/02/03 10:13] (aktuell) – frankbrennecke
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 =====Allgemeine Kurven und Flächen=====
-Der Unterschied zwischen Funktionen und [[EbeneKurven|allgemeinen Kurven]] besteht in der Bedingung, daß bei ersteren jedem Vektor des Urbildraumes nur ein Funktionswert zugeordnet werden darf, bei zweiten jedoch nicht. Im zweidimensionalen Fall wird daher bei allgemeinen Kurven eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>2</sup> durchgeführt. Im dreidimensionalen Fall findet eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>3</sup> statt. Die zugehörigen Abbildungsfunktionen lauten
+Der Unterschied zwischen [[Funktionen]] und [[EbeneKurven|allgemeinen Kurven]] besteht in der Bedingung, daß bei ersteren jedem Vektor des Urbildraumes nur ein Funktionswert zugeordnet werden darf, bei zweiten jedoch nicht. Im zweidimensionalen Fall wird daher bei allgemeinen Kurven eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>2</sup> durchgeführt. Im dreidimensionalen Fall findet eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>3</sup> statt. Die zugehörigen Abbildungsfunktionen lauten
 <m 14>x ~ = ~ f_1(t)</m>
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 <m 14>y - y prime  ~ = ~ c ⋅ (1 - a)</m>
-Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, die wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes gebildet werden.
+Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, deren resultierender Wert wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes berechnet wird.
 ====Exponentielle Interpolation mit Grenzwert====
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 <m 14>y - y prime  ~ = ~ c ⋅ (1 + a)</m>
-Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, die wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes gebildet werden.
+Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, deren resultierender Wert wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes berechnet wird.
 ====Kettenlinie (Cosinushyperbolicus)====
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 <m 14>y prime prime  ~ = ~ c ⋅ a^2 ⋅ cosh(a ⋅ x)</m>
-Berechnet man also aus den gegebenen Wertepaaren deren Steigung, kommt man auf folgende einfache Gleichung:
+Berechnet man also aus gegebenen Wertetripeln deren zweite Ableitung, kommt man auf folgende einfache Gleichung:
 <m 14>y - y prime prime  ~ = ~ c ⋅ (1 - a^2)</m>
-Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>%%'%%%%'%% lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, die wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes gebildet werden.
+Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>%%'%%%%'%% lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, deren resultierender Wert wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes berechnet wird.
 ====Fourier-Reihe====
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 berechnet, wobei die Konstante T in CGRAPH zu 1 gesetzt ist. Zur Berechnung der FFT verwendet CGRAPH einen Radix-2-Algorithmus nach Cooley-Tukey.
-Die benötigten Abtastwerte werden in CGRAPH aus Funktionen gewonnen. In einem vorgegebenen Intervall der Funktion werden Stützwerte berechnet. Nun wird angenommen, daß dieses Intervall ist, der erste Abtastwert wird auf 0, der letzte auf 2𝜋 verschoben. Die abgetasteten Stützwerte stellen immer eine bei Null beginnende Funktion dar.
+Die benötigten Abtastwerte werden in CGRAPH aus Funktionen gewonnen. In einem vorgegebenen Intervall der Funktion werden Stützwerte berechnet. Nun wird der erste Abtastwert wird auf 0, der letzte auf 2𝜋 verschoben. Die abgetasteten Stützwerte stellen immer eine bei Null beginnende Funktion dar.
 Die berechnete FFT kann gemäß dem Abtasttheorem von Shannon nur bis zur halben Intervallbreite berechnet werden. In CGRAPH wird jedoch immer das vollständige Intervall [-𝜋,𝜋] dargestellt, das im Bereich zwischen -𝜋 und 0 die gespiegelten Anteile der FFT zwischen 0 und 𝜋 zeigt. Diese Darstellung erleichtert die Betrachtung der berechneten Fouriertransformation.