CGRAPH - Mathematische Grafiken

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mathematische_grundlagen [2026/02/01 18:11] – olivereiermannmathematische_grundlagen [2026/02/03 10:13] (aktuell) – frankbrennecke
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-===== Mathematische Grundlagen =====+====== Mathematische Grundlagen ======
  
 Dieser Abschnitt erklärt die in CGRAPH zum Einsatz kommenden mathematischen Routinen und die ihnen zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten. Er enthält auch eine kurze Einführung in die Theorie der komplexen Zahlen und erläutert die komplexen Funktionen, die in CGRAPH die Grundlage aller Berechnungen sind. Dieser Abschnitt erklärt die in CGRAPH zum Einsatz kommenden mathematischen Routinen und die ihnen zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten. Er enthält auch eine kurze Einführung in die Theorie der komplexen Zahlen und erläutert die komplexen Funktionen, die in CGRAPH die Grundlage aller Berechnungen sind.
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 Die Kenntnis dieser Grundlagen ist zur Benutzung von CGRAPH nicht erforderlich, sie beantwortet jedoch weitergehende Fragen. Die Kenntnis dieser Grundlagen ist zur Benutzung von CGRAPH nicht erforderlich, sie beantwortet jedoch weitergehende Fragen.
  
-==== Funktionen ====+===== Funktionen =====
  
 Unter einer [[Funktionen|Funktion]] wird im allgemeinen eine Abbildung verstanden, die jedem Vektor des Urbildraumes genau einen  Funktionswert zuweist. Innerhalb der reellwertigen Graphiken kommen reellwertige Funktionen einer oder zweier Veränderlicher zum Einsatz. Diese können geschrieben werden als Unter einer [[Funktionen|Funktion]] wird im allgemeinen eine Abbildung verstanden, die jedem Vektor des Urbildraumes genau einen  Funktionswert zuweist. Innerhalb der reellwertigen Graphiken kommen reellwertige Funktionen einer oder zweier Veränderlicher zum Einsatz. Diese können geschrieben werden als
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 Auf diese Weise verfährt auch CGRAPH bei der Darstellung von Funktionen. Über das Menü //2D-Grafiken / Funktionen// stehen dabei die Darstellung von f(x), der ersten und der zweiten Ableitung sowie des Integrals zur Verfügung. Auf diese Weise verfährt auch CGRAPH bei der Darstellung von Funktionen. Über das Menü //2D-Grafiken / Funktionen// stehen dabei die Darstellung von f(x), der ersten und der zweiten Ableitung sowie des Integrals zur Verfügung.
  
-===Darstellung der Funktion===+====Darstellung der Funktion====
  
 CGRAPH berechnet hier die Funktionswerte, indem zwischen Anfangs- und Endwert der Variablen x Stützwerte berechnet werden, deren Anzahl über die //Einstellungen// im Register //2D-Grafik// vorgegeben werden kann. CGRAPH berechnet hier die Funktionswerte, indem zwischen Anfangs- und Endwert der Variablen x Stützwerte berechnet werden, deren Anzahl über die //Einstellungen// im Register //2D-Grafik// vorgegeben werden kann.
  
-===Ableitungen===+====Ableitungen====
  
 In CGRAPH werden die Ableitungen auf grafischem Wege berechnet. Da hier die Anzahl der berechneten Stützstellen in das Ergebnis eingeht, ist eine ausreichend hohe Anzahl Stützwerte eine Grundbedingung für eine gute Übereinstimmung mit der tatsächlichen Ableitung. In CGRAPH werden die Ableitungen auf grafischem Wege berechnet. Da hier die Anzahl der berechneten Stützstellen in das Ergebnis eingeht, ist eine ausreichend hohe Anzahl Stützwerte eine Grundbedingung für eine gute Übereinstimmung mit der tatsächlichen Ableitung.
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 Neben dem Stützwert f(x<sub>i-1</sub>) wird hier auch noch der Stützwert f(x<sub>i-2</sub>) benötigt. Die erste Ableitung der Anfangs- und Endwerte kann ebenso wie deren zweite Ableitung nicht bestimmt werden, da die entsprechenden Verläufe außerhalb des Wertebereichs nicht betrachtet werden. Hier wird auch deutlich, welch großen Einfluß die Anzahl der Stützwerte auf die exakte Darstellung der Ableitungen hat. Der Stützstellenabstand x<sub>i</sub> - x<sub>i-1</sub> geht direkt in die Berechnung ein. Neben dem Stützwert f(x<sub>i-1</sub>) wird hier auch noch der Stützwert f(x<sub>i-2</sub>) benötigt. Die erste Ableitung der Anfangs- und Endwerte kann ebenso wie deren zweite Ableitung nicht bestimmt werden, da die entsprechenden Verläufe außerhalb des Wertebereichs nicht betrachtet werden. Hier wird auch deutlich, welch großen Einfluß die Anzahl der Stützwerte auf die exakte Darstellung der Ableitungen hat. Der Stützstellenabstand x<sub>i</sub> - x<sub>i-1</sub> geht direkt in die Berechnung ein.
  
-Integral+====Integral====
  
 CGRAPH verwendet zur (grafischen) Darstellung des Integrals eine modifizierte Balkenregel. Berechnet wird das bestimmte Integral über die Intervallgrenzen mit: CGRAPH verwendet zur (grafischen) Darstellung des Integrals eine modifizierte Balkenregel. Berechnet wird das bestimmte Integral über die Intervallgrenzen mit:
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-====Allgemeine Kurven und Flächen====+=====Allgemeine Kurven und Flächen=====
  
-Der Unterschied zwischen Funktionen und [[EbeneKurven|allgemeinen Kurven]] besteht in der Bedingung, daß bei ersteren jedem Vektor des Urbildraumes nur ein Funktionswert zugeordnet werden darf, bei zweiten jedoch nicht. Im zweidimensionalen Fall wird daher bei allgemeinen Kurven eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>2</sup> durchgeführt. Im dreidimensionalen Fall findet eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>3</sup> statt. Die zugehörigen Abbildungsfunktionen lauten+Der Unterschied zwischen [[Funktionen]] und [[EbeneKurven|allgemeinen Kurven]] besteht in der Bedingung, daß bei ersteren jedem Vektor des Urbildraumes nur ein Funktionswert zugeordnet werden darf, bei zweiten jedoch nicht. Im zweidimensionalen Fall wird daher bei allgemeinen Kurven eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>2</sup> durchgeführt. Im dreidimensionalen Fall findet eine Abbildung vom ℝ<sup>1</sup> in den ℝ<sup>3</sup> statt. Die zugehörigen Abbildungsfunktionen lauten
  
 <m 14>x ~ = ~ f_1(t)</m> <m 14>x ~ = ~ f_1(t)</m>
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 Oberflächen sind Flächen auf abgeschlossenen Körpern, z.B. Kugeln. Da diese mathematisch nicht von ausgedehnten Flächen unterscheidbar sind, können sie ebenfalls auf diese Weise dargestellt werden. Wenn die Oberfläche eines Körpers in Parameterform eingegeben wird, stellt CGRAPH daher die Struktur des Körpers dar. Oberflächen sind Flächen auf abgeschlossenen Körpern, z.B. Kugeln. Da diese mathematisch nicht von ausgedehnten Flächen unterscheidbar sind, können sie ebenfalls auf diese Weise dargestellt werden. Wenn die Oberfläche eines Körpers in Parameterform eingegeben wird, stellt CGRAPH daher die Struktur des Körpers dar.
    
-====Interpolation====+=====Interpolation=====
  
 Über das Menü //Weitere Grafiken/Interpolation// können in CGRAPH Interpolationen von Kurven aufgrund von Wertepaarlisten durchgeführt werden. Über das Menü //Weitere Grafiken/Interpolation// können in CGRAPH Interpolationen von Kurven aufgrund von Wertepaarlisten durchgeführt werden.
  
-===Lineare Interpolation===+====Lineare Interpolation====
  
 Für jede zwei Paare (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) und (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>) können bei der linearen Interpolation die zugehörigen Werte für den Achsenabschnitt und die Steigung der Funktion y = mx + b berechnet werden.  Für jede zwei Paare (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) und (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>) können bei der linearen Interpolation die zugehörigen Werte für den Achsenabschnitt und die Steigung der Funktion y = mx + b berechnet werden. 
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 Es wird über N-1 Werte summiert, weil immer zwei Wertepaare benötigt werden. Es wird über N-1 Werte summiert, weil immer zwei Wertepaare benötigt werden.
  
-===Quadratische Interpolation===+====Quadratische Interpolation====
  
 Um die Parameter der quadratischen Gleichung  Um die Parameter der quadratischen Gleichung 
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 wobei p stellvertretend für die Parameter a, b und c steht. Da zwei Referenzwerte benötigt  werden, kann die Lösung nur N-2 Wertepaare umfassen; es sind daher auch mindestens drei Eingabewerte erforderlich. Die Referenzwertepaare können in CGRAPH aus allen eingegebenen Wertepaaren ausgewählt werden; beim ersten Aufruf der Funktion werden das erste und das letzte Paar der eingegebenen Liste verwendet. wobei p stellvertretend für die Parameter a, b und c steht. Da zwei Referenzwerte benötigt  werden, kann die Lösung nur N-2 Wertepaare umfassen; es sind daher auch mindestens drei Eingabewerte erforderlich. Die Referenzwertepaare können in CGRAPH aus allen eingegebenen Wertepaaren ausgewählt werden; beim ersten Aufruf der Funktion werden das erste und das letzte Paar der eingegebenen Liste verwendet.
  
-===Exponentielle Interpolation===+====Exponentielle Interpolation====
  
 Hier wird die Funktion  Hier wird die Funktion 
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 <m 14>y - y prime  ~ = ~ c ⋅ (1 - a)</m> <m 14>y - y prime  ~ = ~ c ⋅ (1 - a)</m>
  
-Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, die wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes gebildet werden.+Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, deren resultierender Wert wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes berechnet wird.
  
-===Exponentielle Interpolation mit Grenzwert===+====Exponentielle Interpolation mit Grenzwert====
  
 Hier wird die Funktion  Hier wird die Funktion 
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 <m 14>y - y prime  ~ = ~ c ⋅ (1 + a)</m> <m 14>y - y prime  ~ = ~ c ⋅ (1 + a)</m>
  
-Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, die wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes gebildet werden.+Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>' lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, deren resultierender Wert wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes berechnet wird.
  
-===Kettenlinie (Cosinushyperbolicus)===+====Kettenlinie (Cosinushyperbolicus)====
  
 Hier wird die Funktion  Hier wird die Funktion 
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 <m 14>y prime prime  ~ = ~ c ⋅ a^2 ⋅ cosh(a ⋅ x)</m> <m 14>y prime prime  ~ = ~ c ⋅ a^2 ⋅ cosh(a ⋅ x)</m>
  
-Berechnet man also aus den gegebenen Wertepaaren deren Steigung, kommt man auf folgende einfache Gleichung:+Berechnet man also aus gegebenen Wertetripeln deren zweite Ableitung, kommt man auf folgende einfache Gleichung:
  
 <m 14>y - y prime prime  ~ = ~ c ⋅ (1 - a^2)</m> <m 14>y - y prime prime  ~ = ~ c ⋅ (1 - a^2)</m>
  
-Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>%%'%%%%'%% lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, die wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes gebildet werden.+Aus je zwei solcher Wertepaare y<sub>i</sub> und y<sub>i</sub>%%'%%%%'%% lassen sich dann Werte für a und c gewinnen, deren resultierender Wert wieder durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes berechnet wird.
  
-===Fourier-Reihe===+====Fourier-Reihe====
  
 Diese Interpolationsart eignet sich für periodische Vorgänge. Die einzelnen Koeffizienten einer Fourierreihe werden ermittelt: Diese Interpolationsart eignet sich für periodische Vorgänge. Die einzelnen Koeffizienten einer Fourierreihe werden ermittelt:
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 <m 14>y ~ = ~ sum{}{}{c_k ⋅ sin(a_k ⋅ x)}</m> <m 14>y ~ = ~ sum{}{}{c_k ⋅ sin(a_k ⋅ x)}</m>
    
-===Akima-Interpolation===+====Akima-Interpolation====
  
-Wenn bei Interpolationen nicht die zugrunde liegende mathematische Funktion bestimmt, sondern ein möglichst glatter Verlauf der Kurve dargestellt werden soll, muß der zur Interpolation führende Algorithmus bestimmte Voraussetzungen erfüllen.+Wenn bei Interpolationen nicht die zugrunde liegende mathematische Funktion bestimmt, sondern ein möglichst glatter Verlauf der Kurve dargestellt werden soll, muss der zur Interpolation führende Algorithmus bestimmte Voraussetzungen erfüllen.
  
   -Es dürfen keine Überkrümmungen an Sprungstellen auftreten.   -Es dürfen keine Überkrümmungen an Sprungstellen auftreten.
  
-  -Wertepaare dürfen nur Einfluß auf ein begrenztes Intervall um den Wert herum haben.+  -Wertepaare dürfen nur Einfluss auf ein begrenztes Intervall um den Wert herum haben.
  
 Hierfür eignen sich zwei Verfahren der numerischen Mathematik, die Spline- und die Akima-Interpolation, die nach ihrem Entwickler Hiroshi Akima benannt wurde. Bei beiden werden kubische Polynome der Form Hierfür eignen sich zwei Verfahren der numerischen Mathematik, die Spline- und die Akima-Interpolation, die nach ihrem Entwickler Hiroshi Akima benannt wurde. Bei beiden werden kubische Polynome der Form
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 Mit diesen Koeffizienten können nun die kubischen Polynome berechnet werden, die zur Interpolation herangezogen werden.  Mit diesen Koeffizienten können nun die kubischen Polynome berechnet werden, die zur Interpolation herangezogen werden. 
  
-====Komplexe Zahlen====+=====Komplexe Zahlen=====
  
 CGRAPH ermöglicht die Erstellung von Abbildungen komplexer Funktionen in der komplexen Ebene.  Diese wird beschrieben als CGRAPH ermöglicht die Erstellung von Abbildungen komplexer Funktionen in der komplexen Ebene.  Diese wird beschrieben als
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 |Division|<m 14>{z_1}/{z_2} ~ = ~ {x_1x_2 ~ + ~y_1y_2 ~ + ~ i(x_2y_1 ~ - ~ x_1y_2)}/{{x_2}^2~ + ~{y_2}^2}</m>| |Division|<m 14>{z_1}/{z_2} ~ = ~ {x_1x_2 ~ + ~y_1y_2 ~ + ~ i(x_2y_1 ~ - ~ x_1y_2)}/{{x_2}^2~ + ~{y_2}^2}</m>|
  
-===Abbildungen in der komplexen Ebene===+====Abbildungen in der komplexen Ebene====
  
 Ebenso wie im reellen Raum kann für die komplexe Ebene eine Abbildung definiert werden. Dabei kann auf die bei reellen Abbildungen des ℝ<sup>2</sup> gewonnenen Erkenntnisse zurückgegriffen werden. Ebenso wie im reellen Raum kann für die komplexe Ebene eine Abbildung definiert werden. Dabei kann auf die bei reellen Abbildungen des ℝ<sup>2</sup> gewonnenen Erkenntnisse zurückgegriffen werden.
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 Die so definierte Funktion kann aus dem reellen Raum bekannte Eigenschaften  besitzen, so z.B. die Mehrdeutigkeit der Abbildung und die Umkehrbarkeit. Die so definierte Funktion kann aus dem reellen Raum bekannte Eigenschaften  besitzen, so z.B. die Mehrdeutigkeit der Abbildung und die Umkehrbarkeit.
  
-===In CGRAPH definierte Funktionen===+====In CGRAPH definierte Funktionen====
  
 In CGRAPH sind die wichtigsten elementaren Funktionen bereits vordefiniert. Da in einigen Fällen Mehrdeutigkeiten auftreten können, werden hier die im Programm verwendeten Definitionen angegeben. In CGRAPH sind die wichtigsten elementaren Funktionen bereits vordefiniert. Da in einigen Fällen Mehrdeutigkeiten auftreten können, werden hier die im Programm verwendeten Definitionen angegeben.
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 <m 14>tanh(z) ~ = ~ {sinh(2x) ~ + ~ i ⋅ sin(2y)}/{cosh(2x) ~ + ~ cos(2y)}</m> <m 14>tanh(z) ~ = ~ {sinh(2x) ~ + ~ i ⋅ sin(2y)}/{cosh(2x) ~ + ~ cos(2y)}</m>
  
-===Umkehrfunktionen===+====Umkehrfunktionen====
  
 Die Umkehrfunktionen können über den komplexen Logarithmus log(z) berechnet werden. Die Umkehrfunktionen können über den komplexen Logarithmus log(z) berechnet werden.
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 <m 14>arctanh(z) ~ = ~ 1/2 ⋅ ln({1 ~ + ~ z}/{1 ~ - ~  z})</m> <m 14>arctanh(z) ~ = ~ 1/2 ⋅ ln({1 ~ + ~ z}/{1 ~ - ~  z})</m>
  
-===Funktionen zur Bearbeitung komplexer Zahlen und Sonderfunktionen===+====Funktionen zur Bearbeitung komplexer Zahlen und Sonderfunktionen====
  
  
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 <m 14>frac(z) ~ = ~ delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x - delim{[}{x+1}{]}} für {x<0} {x - delim{[}{x}{]}} für {x>=0}}}{~}</m> <m 14>frac(z) ~ = ~ delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x - delim{[}{x+1}{]}} für {x<0} {x - delim{[}{x}{]}} für {x>=0}}}{~}</m>
  
-===Potenzfunktionen===+====Potenzfunktionen====
  
 Das Quadrat einer komplexen Zahl wird auf die Multiplikation zurückgeführt. Das Quadrat einer komplexen Zahl wird auf die Multiplikation zurückgeführt.
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 verwendet werden. verwendet werden.
  
-==== Rechen­genauigkeit und Ausnahmen­behandlung ====+===== Rechen­genauigkeit und Ausnahmen­behandlung =====
  
 CGRAPH verwendet für Berechnungen intern ein Fließkommaformat, das eine Darstellung reeller Zahlen bis zu einem Exponenten von 101000 ermöglicht. Die Rechengenauigkeit liegt bei etwa 19 Dezimalstellen. Dieses Format kann bei Ausgaben über das die [[mathematik|Einstellungen]] im Register //Mathematik// auf maximal 15 Nachkommastellen begrenzt werden. Eingaben können aber mit höherer Genauigkeit durchgeführt werden. CGRAPH verwendet für Berechnungen intern ein Fließkommaformat, das eine Darstellung reeller Zahlen bis zu einem Exponenten von 101000 ermöglicht. Die Rechengenauigkeit liegt bei etwa 19 Dezimalstellen. Dieses Format kann bei Ausgaben über das die [[mathematik|Einstellungen]] im Register //Mathematik// auf maximal 15 Nachkommastellen begrenzt werden. Eingaben können aber mit höherer Genauigkeit durchgeführt werden.
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 Einige Funktionen wie der Sinus Hyperbolicus im Reellen oder der Sinus im Imaginären beinhalten implizit oder explizit exponentielle Berechnungen. Der maximale Definitionsbereich dieser Funktionen ist daher auf den entsprechenden Achsen auf den maximalen bzw. minimalen Exponenten 2839 beschränkt. Einige Funktionen wie der Sinus Hyperbolicus im Reellen oder der Sinus im Imaginären beinhalten implizit oder explizit exponentielle Berechnungen. Der maximale Definitionsbereich dieser Funktionen ist daher auf den entsprechenden Achsen auf den maximalen bzw. minimalen Exponenten 2839 beschränkt.
  
-====Fourier­transformationen====+=====Fourier­transformationen=====
  
 In CGRAPH können im Menü //Weitere Grafiken / Eindimensionale FFT// Fouriertransformationen durchgeführt werden. Die zugehörige Gleichungen für die Hintransformation vom Zeit- in den Bildbereich lautet In CGRAPH können im Menü //Weitere Grafiken / Eindimensionale FFT// Fouriertransformationen durchgeführt werden. Die zugehörige Gleichungen für die Hintransformation vom Zeit- in den Bildbereich lautet
- 
-{{math:mat_898.png}} 
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 <m 14>y_{mu} ~ = ~ T sum{nu =0}{N-1}{x_{nu} ~ ⋅ ~ e^{{-j 2 pi mu nu}/{N}}} ~ ~ mit ~ mu ~ = ~  0, 1, cdots, N-1</m> <m 14>y_{mu} ~ = ~ T sum{nu =0}{N-1}{x_{nu} ~ ⋅ ~ e^{{-j 2 pi mu nu}/{N}}} ~ ~ mit ~ mu ~ = ~  0, 1, cdots, N-1</m>
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 Die Rücktransformation wird über die Gleichung Die Rücktransformation wird über die Gleichung
  
-{{math:mat_899.png}} +<m 14>x_{nu} ~ = ~ {1}/{NT} sum{mu =0}{N-1}{y_{mu} ~ ⋅ ~ e^{{j 2 pi mu nu}/{N}}} ~ ~ mit ~ nu ~ = ~  0, 1, cdots, N-1</m>
- +
-<m 14>x_{nu} ~ = ~ {1}/{NT} sum{nu =0}{N-1}{y_{mu} ~ ⋅ ~ e^{{j 2 pi mu nu}/{N}}} ~ ~ mit ~ nu ~ = ~  0, 1, cdots, N-1</m>+
  
  
 berechnet, wobei die Konstante T in CGRAPH zu 1 gesetzt ist. Zur Berechnung der FFT verwendet CGRAPH einen Radix-2-Algorithmus nach Cooley-Tukey. berechnet, wobei die Konstante T in CGRAPH zu 1 gesetzt ist. Zur Berechnung der FFT verwendet CGRAPH einen Radix-2-Algorithmus nach Cooley-Tukey.
  
-Die benötigten Abtastwerte werden in CGRAPH aus Funktionen gewonnen. In einem vorgegebenen Intervall der Funktion werden Stützwerte berechnet. Nun wird angenommen, daß dieses Intervall ist, der erste Abtastwert wird auf 0, der letzte auf 2𝜋 verschoben. Die abgetasteten Stützwerte stellen immer eine bei Null beginnende Funktion dar.+Die benötigten Abtastwerte werden in CGRAPH aus Funktionen gewonnen. In einem vorgegebenen Intervall der Funktion werden Stützwerte berechnet. Nun wird der erste Abtastwert wird auf 0, der letzte auf 2𝜋 verschoben. Die abgetasteten Stützwerte stellen immer eine bei Null beginnende Funktion dar.
  
 Die berechnete FFT kann gemäß dem Abtasttheorem von Shannon nur bis zur halben Intervallbreite berechnet werden. In CGRAPH wird jedoch immer das vollständige Intervall [-𝜋,𝜋] dargestellt, das im Bereich zwischen -𝜋 und 0 die gespiegelten Anteile der FFT zwischen 0 und 𝜋 zeigt. Diese Darstellung erleichtert die Betrachtung der berechneten Fouriertransformation. Die berechnete FFT kann gemäß dem Abtasttheorem von Shannon nur bis zur halben Intervallbreite berechnet werden. In CGRAPH wird jedoch immer das vollständige Intervall [-𝜋,𝜋] dargestellt, das im Bereich zwischen -𝜋 und 0 die gespiegelten Anteile der FFT zwischen 0 und 𝜋 zeigt. Diese Darstellung erleichtert die Betrachtung der berechneten Fouriertransformation.
  
-====Konvergenz­untersuchungen====+=====Konvergenz­untersuchungen=====
  
 Die Konvergenz einer Funktion für einen vorgegebenen Startwert wird durch mehrfache Iteration untersucht. Der berechnete Funktionswert wird dabei als neuer Startwert aufgefasst und die Iteration so lange weiter ausgeführt, bis sich eine Divergenz oder Konvergenz feststellen läßt. Die Konvergenz einer Funktion für einen vorgegebenen Startwert wird durch mehrfache Iteration untersucht. Der berechnete Funktionswert wird dabei als neuer Startwert aufgefasst und die Iteration so lange weiter ausgeführt, bis sich eine Divergenz oder Konvergenz feststellen läßt.
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 CGRAPH berechnet dabei den Abstand der berechneten Zahl z<sub>n+1</sub> zur Ausgangszahl z<sub>n</sub> und zu deren Vorgängerin z<sub>n-1</sub>. Vergrößert sich dieser Abstand, so liegt eine Divergenz vor. Andernfalls konvergiert oder alterniert die Funktion. CGRAPH berechnet dabei den Abstand der berechneten Zahl z<sub>n+1</sub> zur Ausgangszahl z<sub>n</sub> und zu deren Vorgängerin z<sub>n-1</sub>. Vergrößert sich dieser Abstand, so liegt eine Divergenz vor. Andernfalls konvergiert oder alterniert die Funktion.
  
-====System­funktionen====+=====System­funktionen=====
  
 Bei vielen mechanischen oder elektrischen Systemen sind die Größen des Systems unabhängig von dem, was an Ein- und Ausgang des Systems geschieht. Die Systemfunktion ist als Quotient von Eingangs- und Ausgangssignal definiert: Bei vielen mechanischen oder elektrischen Systemen sind die Größen des Systems unabhängig von dem, was an Ein- und Ausgang des Systems geschieht. Die Systemfunktion ist als Quotient von Eingangs- und Ausgangssignal definiert:
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 Wenn das Frequenzverhalten des Systems bestimmt werden soll, kann statt der komplexen Variablen z der komplexe Anteil j𝜔 gesetzt werden. Für den Amplitudengang a, die Dämpfung d und den Phasengang 𝜑 werden die folgenden Umrechnungen benutzt: Wenn das Frequenzverhalten des Systems bestimmt werden soll, kann statt der komplexen Variablen z der komplexe Anteil j𝜔 gesetzt werden. Für den Amplitudengang a, die Dämpfung d und den Phasengang 𝜑 werden die folgenden Umrechnungen benutzt:
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-{{math:mat_81028104.png}} 
  
 <m 14>a ~ = ~ delim{|}{H(j omega)}{|}</m> <m 14>a ~ = ~ delim{|}{H(j omega)}{|}</m>
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 <m 14>varphi ~ = ~ arg(H(j omega))</m> <m 14>varphi ~ = ~ arg(H(j omega))</m>
  
-{{internal:warn.png}} +=====Fraktale=====
- +
-====Fraktale====+
  
 CGRAPH verwendet zwei unterschiedliche Abbildungs­vorschriften für Fraktale. In beiden Fällen wird eine Funktion benötigt, die einen Parameter enthält. CGRAPH verwendet zwei unterschiedliche Abbildungs­vorschriften für Fraktale. In beiden Fällen wird eine Funktion benötigt, die einen Parameter enthält.
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 Bei Mandelbrot-Mengen wird der Parameter p über alle darstellbaren Punkte des Fensters variiert, während der Anfangspunkt z<sub>0</sub> konstant gehalten wird. Bei Mandelbrot-Mengen wird der Parameter p über alle darstellbaren Punkte des Fensters variiert, während der Anfangspunkt z<sub>0</sub> konstant gehalten wird.
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