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| konvergenzen [2026/01/12 09:51] – frankbrennecke | konvergenzen [2026/02/02 16:45] (aktuell) – frankbrennecke |
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| ==== Konvergenzen ==== | ====== Konvergenzen ====== |
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| Im Gegensatz zur Menge der reellen Zahlen zeigt die komplexe Ebene ein oft unerwartetes Verhalten, so zum Beispiel bei der Übertragung der Integral- und Differentialrechnung auf komplexe Funktionen. Ein anderes Beispiel sind Iterationen. | Im Gegensatz zur Menge der reellen Zahlen zeigt die komplexe Ebene ein oft unerwartetes Verhalten, so zum Beispiel bei der Übertragung der Integral- und Differentialrechnung auf komplexe Funktionen. Ein anderes Beispiel sind Iterationen. |
| Dabei zeigt sich, daß - im Gegensatz zum reellen Raum - Iterationen für nahe beieinander liegende Punkte in der komplexen Ebene zu völlig verschiedenen Ergebnissen führen können. Trägt man nun die Divergenzgeschwindigkeit, also die Anzahl der Iterationen bis zum Erreichen einer maximalen Differenz zum Vorwert, auf den Ausgangspunkten in unterschiedlicher Farbgebung auf, so erhält man ein unregelmäßig geformtes Gebilde, ein Fraktal. | Dabei zeigt sich, daß - im Gegensatz zum reellen Raum - Iterationen für nahe beieinander liegende Punkte in der komplexen Ebene zu völlig verschiedenen Ergebnissen führen können. Trägt man nun die Divergenzgeschwindigkeit, also die Anzahl der Iterationen bis zum Erreichen einer maximalen Differenz zum Vorwert, auf den Ausgangspunkten in unterschiedlicher Farbgebung auf, so erhält man ein unregelmäßig geformtes Gebilde, ein Fraktal. |
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| In CGRAPH können außerdem komplexe Funktionen durch Iteration auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden. | CGRAPH bietet die Erstellung von Fraktalen durch Mandelbrot- und Julia-Mengen, bei denen der sichtbare Bildbereich auf Konvergenz oder Divergenz untersucht und die Konvergenzgeschwindigkeit farbig dargestellt wird. Es können außerdem komplexe Funktionen durch Iteration auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden. Eine Graphik zeigt den Ablauf der Iteration. |
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| ^Symbol^Grafik^Beschreibung^ | ^Symbol^Grafik^Beschreibung^ |
| |{{symbol:icon_Mandelbrot.png?64x64}}|[[Mandelbrot-Mengen]]|Erstellt eine iterative Grafik mitels einer Funktion z<sub>n+1</sub> = f(z<sub>n</sub>, param) für einen Startwert z<sub>0</sub>, bei der der Parameter variiert wird.| | |{{symbol:icon_Mandelbrot.png?64x64}}|[[Mandelbrot-Mengen]]|Erstellt eine iterative Grafik mitels einer Funktion z<sub>n+1</sub> = f(z<sub>n</sub>, param) für einen Startwert z<sub>0</sub>, bei der der Parameter variiert wird.| |
| |{{symbol:icon_Julia.png?64x64}}|[[Julia-Mengen]]|Erstellt eine iterative Grafik mitels einer Funktion z<sub>n+1</sub> = f(z<sub>n</sub>, param) für festgelegten Parameter, bei der der Startwert varriiert wird.| | |{{symbol:icon_Julia.png?64x64}}|[[Julia-Mengen]]|Erstellt eine iterative Grafik mitels einer Funktion z<sub>n+1</sub> = f(z<sub>n</sub>, param) für festgelegten Parameter, bei der der Startwert varriiert wird.| |
| |{{symbol:icon_Konvergenz.png?64x64}}|[[Funktionskonvergenz]]|Ermiitelt den iterativen Verlauf komplexer Funktionen und erkennt, ob sie konvergieren oder divergieren| | |{{symbol:icon_Konvergenz.png?64x64}}|[[Funktionskonvergenz]]|Ermittelt den iterativen Verlauf komplexer Funktionen z<sub>n+1</sub> = f(z<sub>n</sub>, param) für festgelegte Startwerte z<sub>0</sub> und Parameter und erkennt, ob sie konvergieren oder divergieren.| |
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| | [[grafiktypen|Zurück zur Übersicht]] |
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